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数学
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已知函数f(x)=log
a
[(
1
a
-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)
B. (0,
3
5
)
C. (
1
2
,1)
D. (
1
2
,
3
5
)
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解答
设g(x)=(
1
a
−2
)x+1,x∈[1,3]
所以g(x)=(
1
a
−2
)x+1是定义域上的单调函数,
根据题意得
g(1)>0
g(3)>0
解得:0<a<
3
5
因为函数
f(x)=lo
g
a
[(
1
a
−2)x+1]
在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立
所以
lo
g
a
[(
1
a
−2)x+1]>0
在区间上[1,3]恒成立
所以
lo
g
a
[(
1
a
−2)x+1]>
log
a
1
在区间上[1,3]恒成立
因为0<a<
3
5
所以
(
1
a
−2)x+1< 1
在区间上[1,3]恒成立
即
(
1
a
−2)x<0
在区间上[1,3]恒成立
所以
1
a
−2<0
解得a>
1
2
所以
1
2
<a<
3
5
所以实数a的取值范围是
1
2
<a<
3
5
.
故选D.
推荐
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