作出函数f（x），g（x）的图象，
令f（x）=g（x），即2-x²=x，解得x=-2，x=1，
由题意得，F（x）=min{f（x），g（x）}=

2−x2，x＜−2 x，−2≤x≤1 2−x2，x＞1

，
由图象知，F（x）_max=F（1）=1．
所以F（x）的最大值是1．
故答案为：1．