（1）作AD⊥x轴于D
∵△AOB为等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
设A（a，a），
则a=3a-4，
解得a=2
∴点A（2，2）；
（2）又点A在y＝

k

x

上，
∴k=4，反比列函数为y＝

4

x

；
（3）存在．                    
设M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB  AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x轴
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4  
∵点M在y＝

4

x

上
∴M（4，1）；
（4）不存在                  
由（3）中所证易知：
假设在双曲线上存在点N，
若△PAN为等腰直角三角形
则：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
则点N在y轴上，
∴点N不在双曲线上
∴点N不存在．