You 'd better not stay up in the night.had不是过去完成时吗
用not 为什么不佳to
stay up late 才是把？had better (not )do sth? 最好（不要）做某事
这是英语当中的一个固定搭配，其中的had绝对不可以写成have，没有任何理由来解释为什么不能用have这个动词原形，这个固定搭配就是这样存在的。
同时你也不要以为这里用了过去式，在这个固定搭配中没有涉及到任何时态。

另外，stay up 这个词组就是“熬夜”的意思，不用加late。