求极限：lim n->无穷 (n!)^(1/n) / n ,n为自然数复变函数的作业题,但我用的都是实数的知识,我用泰勒展开做,结_数学解答

求极限：lim n->无穷 (n!)^(1/n) / n ,n为自然数
复变函数的作业题,但我用的都是实数的知识,我用泰勒展开做,结果为e^(-1/2) + O(1),但我不知道O(1)是不是无穷小.如果是就对了,如果不是,可能正确解法要用复变函数的知识.
lim n->无穷 [(n!)^(1/n)] / n

人气：114 ℃　时间：2020-06-22 21:16:44

解答

摘录梗概如下,
利用斯特林(Stiring)公式,
lim[(√2πn)*(n/e)^n/n!]=1,n→∞
n!(√2πn)*(n/e)^n,代入极限式,可得
lim(n!)^(1/n)/n,n→∞
=lim(√2πn)^(1/n)*(n/e)/n,n→∞
=1/elim(√2π)^(1/n)*n^(1/n),n→∞
又因为limn^(1/n)=1,n→∞
lim(√2π)^(1/n)=1,n→∞
所以n→∞时,
lim(n!)^(1/n)/n=1/e,