前两问可以一起回答：before后面其实是省略的说法,还原为完整的说法应该是before she was given...,显然此处为了使句子简洁把主语she省略掉了,同时before由一个从句降为一个介宾短语,因此before后面的动词成分必然使用动名词形式,而was given的动名词形式就是being given.being done的出现一种是本句的情况,在介词后作为被动语态的动名词形式；另外还可以省略介词,成为一个形式省略的从句作为状语成分,例如：Being told the truth,he decided to leave.(得知真相之后,他决定离开).当然,被动语态的进行时态也有being done存在,但那是以固定的am/is/are/was/were being done的形式出现的.
第三个问题首先要分析该句的成分：主语是Her last three months of life,是一个复数,也导致后面的谓语用were而不是was；谓语是两个连续动作were filmed and first shown；before being given a final,lethal injection by his doctor是一个介宾短语用来修饰主语；on television last year是状语,用来修饰动作的时间地点.这样就很明白了,你所纠结的逗号其实只是用来分隔两个并列的定语final和lethal的,对整个句子的成分没有本质的影响.要注意英语中没有顿号,所以很多时候逗号只是起到了汉语中顿号的作用,不要因此而影响对句子成分的判断.