1. There are only three chairs here. We need one more.
 
more 有“额外”的含义,是形容词；one 是不定代词,修饰不定代词的形容词必须后置（如something good,some more）的后置.We need one more表示“我们需要额外的一个”或者“再多来一个”.这种用法是正确的.
 
2. There are only three chairs here. We need another one.
 
another 也是形容词,作定语只能放在被修饰词前,不定代词也不例外.这样说也是对的.
 
3. There are only three chairs here. We need one other. 

another本身就能用作代词,等于后面省略了被修饰的名词,如another chair、another one,在上下文明确的情况下就可以省略chair、one,直接用another指代.这里的one other属于生造词,没有这种说法.