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数学
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已知l是过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点的平面AB
1
D
1
与下底面ABCD所在平面的交线.
(1)求证:D
1
B
1
∥l;
(2)若AB=a,求l与D
1
间的距离.
人气:467 ℃ 时间:2019-08-20 04:11:14
解答
(1)证明:在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,D
1
B
1
∥BD,
∵BD⊂平面ABCD,D
1
B
1
⊄平面ABCD
∴D
1
B
1
∥平面ABCD.
又∵平面ABCD∩平面AD
1
B
1
=l,
∴D
1
B
1
∥l.
(2) 在平面ABCD内,由D作DG⊥l于G,连接D
1
G,
在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,得 D
1
D⊥平面ABCD,
∴D
1
D⊥l,∵D
1
D∩DG=D,∴l⊥平面D
1
DG
∴D
1
G⊥l,即D
1
G的长即等于点D
1
与l间的距离.
∵l∥D
1
B
1
∥BD,∴∠DAG=45°.
∴DG=
2
2
a,在直角三角形D
1
DG中,
则有 D
1
G=
D
G
2
+
D
1
D
2
=
1
2
a
2
+
a
2
=
6
2
a.
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