x,y,z都是实数 (xy+2yz+3xz)/(x^2+y^2+z^2)最大值
人气:124 ℃ 时间:2020-01-27 10:18:08
解答
题目抄错了吧?
如果是求(xy+2yz+2zx)/(x²+y²+z²)的最大值,则灰常简单!
解法一:
引入参数λ,则用基本不等式解决:
2yz=2·λy·z/λ≤λ²y²+z²/λ²
2zx=2·λx·z/λ≤λ²x²+z²/λ²
xy≤(x²+y²)/2
∴xy+2yz+2zx
≤(λ²+1/2)x²+(λ²+1/2)+(2/λ²)z²
令λ²+1/2=2/λ²→λ²=(√33-1)/4.
∴λ²+1/2=(1+√33)/4
∴所求最大值为(1+√33)/4.
解法二:
依嵌入不等式
x²+y²+z²≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC
(A+B+C=π)
令cosB=cosC=2cosA,得B=C,A=π-2B.
∴cosB=2cos(π-2B)→cosB=(-1+√33)/8.
代回嵌入不等式,得
所求最大值为:(1+√33)/4.题目木有抄错,这是老师上课的时候出的思考题,谢谢!
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