(1) 令-(X-m)²+1=o得：
X=m+1 或 m-1.
此时A与B 的距离为：(m+1)-(m-1)=2.
以AB当底,面积为3,则点C到原点的距离应为3.由y=-(x-m)²+1
=-x²+2mx-m²+1得:
c=1-m²
则有 1-m²=3或-3.（+3舍去）
m²=4 此时对称轴在Y轴右方 ,故m=2.
m+1=3 m-1=1
则A和B坐标分别为：A(1,0) B(3,0) .
(2) 存在,m=2.理由：
B在原点右边、C在原点下边,则对称轴必在Y轴右边（m大于零）.此时B(m+1,0),C(0,1-m²).若BOC等腰,则需OB=OC,即 m+1=-(1-m²).（无其他情形）.
解得 m=2,m=-1(舍去)
（3）X轴上存在四个N点,使得三角形MHN与三角形AOC相似.
在（1）前提下,m=2,抛物线为:
y=-(x-2)²+1,顶点坐标为M(2,1),
易知C(0,-3),H(2,0).MH=1.
直角三角形AOC中,直角边AO=1,OC=3.
两直角边之比为3比1.
若满足相似,已知MH=1,必须有HN=1/3 或HN=3.故N点坐标为：(-1,0)或(5,0)或(5/3,0)或(7/3,0).