设A是3阶是对阵矩阵,特征值是2,2,3,属于特征值3的特征向量是a1=(1 1 1 )^T.求矩阵A.设属于2的特征值为a2=(_数学解答

设A是3阶是对阵矩阵,特征值是2,2,3,属于特征值3的特征向量是a1=(1 1 1 )^T.求矩阵A.
设属于2的特征值为a2=(x y z)^T 则（a1,a2)=x+y+z=0,所以x=-y-z.即属于特征值2的特征向量为a2=(1 -1 0)^T a3=(1 0 -1)^T 为什么x=-y-z 可以得出a2和a3?

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解答

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值2的特征向量(x,y,z) 与属于特征值3的特征向量(1,1,1)正交.
即有 x+y+z=0
它的基础解系含有2个线性无关的特征向量
而实对称矩阵可对角化,属于特征值2的线性无关的特征向量必有2个
所以 x+y+z=0 的基础解系即为属于特征值2的两个特征向量
y,z 分别取 -1,0 和0,-1 即得 a2,a3这只是为了让第1个分量好看y,z 分别取1,0; 0,1也行这样得 (-1,1,0)^T, (-1,0,1)^T