群比半群多了幺元和逆.现在已经有幺元,所以只需证明每个元素都有逆.这不是完全显然的,楼上肯定没注意到.
假设G为满足条件的半群,g∈G.定义映射ϕ:G->G使得ϕ(h)=g*h,则由消去律易知ϕ是单射（假设ϕ(h1)=ϕ(h2),即g*h1=g*h2,则h1=h2）.ϕ是有限集合G到自己的单射,所以是双射,特别地也是满射（这一步依赖于G是有限半群!结论对无限的情况不成立）.从而存在a∈G使得ϕ(a)=1,即g*a=1,所以a是g的右逆.
同理（令ψ(h)=h*g）可证g存在左逆b使得b*g=1.
由结合律可知a=b：a=1*a=(b*g)*a=b*(g*a)=b*1=b.所以g有逆.证毕