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求数列前n项和的方法及适用该方法的条件
人气:128 ℃ 时间:2020-06-17 16:52:07
解答
一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时,不但要知其果,...数列求和问题的方法
(1)、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1+3+5+……+(2n-1)=n2

【例8】 求数列1,(3+5),(7+9+11),(13+15+17+19),…前n项的和。
解本题实际是求各奇数的和,在数列的前n项中,
共有1+2+…+n=个奇数,∴最后一个奇数为: 1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1
因此所求数列的前n项的和为

(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·(n2-1)+ 2·(n2-22)+3·(n2-32)+…+n(n2-n2)
解S=n2(1+2+3+…+n)-(13+23+33+…+n3)

(3)、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,采取把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和。


∴ Sn=3n·2n-1
(4)、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和.
【例11】 求数列1,3x,5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和.
解设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1.①

(2)x=0时,Sn=1.
(3)当x≠0且x≠1时,在式①两边同乘以x得
xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,②
①-②,得
(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.

(5)裂项法:把通项公式整理成两项(式多项)差的形式,然后前后相消。
常见裂项方法:



注:在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时,也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
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