第一题很简单,因为曲面是个关于xoz对称的曲面,而且积分函数x^3y是个关于y的奇函数,所以∫x^3ydS=0因为曲面是个圆柱面,展开面是个矩形,面积=底面边长x高,所以ds=2πdz所以原积分=∫(0->1) -z*2πdz=-π第二题.更简单...不好意思原题是dydz;
还有就是计算第一型曲面积分如 zdS S是(x^2+y^2)^1/2=z的圆锥面的时候,能否直接用柱面坐标系代换,从而避免计算z的偏导数?
谢谢啦。dydz的话,用补形,补上上下两个圆面后,用高斯定理,因为上下两个面上,dz=0
所以在这两个面上积分为0
原积分=∫∫∫3x^2ydV=0
求偏导躲不开的。锥面跟圆柱面的面积好像是有关系的,但是这个锥面的面积没法表示成dz的形式。我没弄出来,不知道为什么。
在这个圆锥曲线中,因为始终有r=z,如果写成2πzdz,是可以表示底面投影的面积的。
所以ds=2√2πzdz。这就可以简化计算了。
但是这个√2倍的关系,也是通过求偏导得出来的。
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