(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)几何意义,是位置向量(x,y)与梯度(∂f/∂x, ∂f/∂y)这两个向量的内积.
∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符,看起来奇怪,还有个名字更加奇怪了,其实就是梯度的梯度,梯度就是增长最快的方向,其实就是个向量,不要想复杂了,那就窘了.
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其实就是求和,有多少个东西要被加起来?有一个单位圆面那么多的元素啊.那我就一个圆,一个圆加,从半径是1的一直到半径是0的可以吧.
对于半径为r的小圆周,(x,y)向量与圆周垂直,所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本质就是∫,沿着半径r的圆周积分.表示两个向量的内积,一个是法向量n=(x,y),另一个是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,对于任何向量函数G,∫=∫∫梯度算符内积作用在G,而梯度作用两次的结果恰好是laplace算符,所以∫＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy,然后对每个半径r的小圆周,你把所有的结果加起来,就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr,就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy,就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](从0到1)=1/2e,然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e有点不明白，你的这句话∫=∫∫梯度算符内积作用在G是什么意思，G不是函数吗？梯度算符是什么意思？梯度的符号是倒三角，我不会打。。捉鸡啊这个符号作用在标量函数上得到的是梯度这个符号作用在向量函数上得到的有两种，一种类似向量内积，另一种类似向量外积可以了，大致明白了▽=i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z