1、证明：
∵矩形ABCD
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD/2＝45
∴∠AEB＝45,∠F＝45
∵∠CEF＝∠AEB
∴∠CEF＝45
∴∠CEF＝∠F
∴CE＝CF
2、BG＝√2DG
证明：连接CG、BG
∵矩形ABCD
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90,AB＝CD
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD/2＝45
∴∠BAE＝∠AEB＝45
∴BE＝AB
∴BE＝CD
∵∠ECF＝180-∠BCD＝90,CE＝CF
∴等腰直角△CEF
∵G是EF的中点
∴CG⊥EF,CG＝EG＝FG
∴∠CGE＝90,∠ECG＝45
∴∠DCG＝∠BCD+∠ECG＝135
∵∠BEG＝180-∠AEB＝180-45＝135
∴∠BEG＝∠DCG
∴△BEG全等于△DCG （SAS）
∴BG＝DG,∠BGE＝∠CGD
∵∠CGD+∠DGE＝∠CGE＝90
∴∠BGE+∠DGE＝90
∴∠BGD＝90
∴等腰直角△BGD
∴BD＝√2DG