若判别式是完全平方数,则对应的方程有两个基本点有理根,即二次三项式能分解成两个一次整系数因式的乘积,又x=10时值是质数,故必有一个因式的值为1（易证两个因式的各项系数均为正数）.又这个因式的一次项的值为10的倍数,常数项为c的约数,故这个因式的常数项为1,推得一次项系数为0,矛盾!