如图,已知椭圆C :x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>o,b>o)的长轴AB长为4,离心率e=二分之根号三,O为坐标原点,过B
过B点的直线l与x轴垂直。P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH垂直于X轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点。
(1)求椭圆的方程
(2)证明Q在以AB为直径的圆上
(3)试判断直线QN与于圆O的位置关系
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解答
根据题意
2a=4
a=2
e=c/a=√3/2
c=√3
b²=a²-c²=4-3=1
b=1
椭圆方程:x²/4+b²=1
(2)设点P(2cosa,sina)
则点Q(2cosa,2sina)
Kqa×Kqb=2sina/(2cosa-2)*2sina/(2cosa+2)
=4sin²a/(4cos²a-4)=sin²a/(cos²a-1)=sin²a/(-sin²a)=-1
所以AQ⊥BQ
角AQB=90度,AB为直径
证毕
(3)因为∠BQM=90度,N为BM中点
QN=NB
∠BQN=∠NBQ
∠NBQ=∠MAB(∠NBQ为弦切角,MB是切线)
所以∠BQN=∠MAB
那么QN为圆O的切线.
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