根据题意,对F(x)求导得：
f(x)=[-(ax+lnx)-(1-x)(a+1/x)]/(ax+lnx)=-(lnx+1/x+a+1)/(ax+lnx),
∵x∈[1,+∞),a＞0,
∴ax+lnx＞0,
则(ax+lnx)＞0,
又F(x)为增函数,
∴有f(x)≥0,
则有lnx+1/x+a-1≤0在a＞0,x∈[1,+∞]上恒成立,
令函数G(X)=lnx+1/x+a-1…………①
求导得：
g(x)=1/x-1/x=-(1/x-1/2)+1/4
∵x≥1,
∴g(x)≤0恒成立
则函数G(x)在[1,+∞]上为减函数,∴有G(x)≤G(1)恒成立
欲使 ①式成立,则应有G(1)≤0恒成立
又G(1)=a,
∴有a≤0
又∵a为正实数,
∴a不存在.
希望可以帮到你（我检查了几遍,没发现问题,可能答案就是不存在吧.如果答案错误的话,也肯定是计算上的问题,思路完全是正确的）……
但愿没让你等太久（手机输入太麻烦了）
最后补充一下：对函数F(x)求导得到的f(x)是个分式,其分母为平方的形式,我写的时候明明有的,但一旦提交了,呈现出来的结果竟然没有,修改了几次还是显示不出来,楼主注意下～