假设一个三阶实对称矩阵,有三个特征值3,3,1,又已知对应特征值为1 的特征向量(1,1,2),这个时候求特征值为3的特征向量可以直接利用正交的性质列出方程x1+x2+2x3=0求得的基础解系就是对应特征值为3的特征向量.那么,如果三个特征值不相同,比如为3,5,1,这个时候再按照这种方法来列方程得到的基础解系是什么呢?
实对称矩阵有性质.①不同特征值的特征向量互相正交.②每个特征值的代数重
数与几何重数是相等的.
从②特征值1的特征子空间V是一维的.特征值3的特征子空间U是二维的.
从① R³＝V×U（直积）,即U是V的正交补,V是已知的,正交补是唯一的,所
以,你用那个方法求出的两个向量,是V的正交补基底.从而也是U的基底.
至于特征值是3,5,1.那么只知道1的特征向量就不够了.因为按照原来的方法只
能得到1的特征子空间V的正交补,是3的特征子空间U与5的特征子空间W的直积.
不能确定U与W.所以,这种情况,必须知道两个特征值的特征向量,才能够确定
第三个特征值的特征向量.（方法还是齐次方程组求解,不过这次是两个方程,
而基础解系只有一个向量.）
[另外一道题.请你另外提问.特别是要把题目交代清楚,别人才好帮你.]