p=a²+2b²+2a+4b+2008，
=（a²+2a+1）+（2b²+4b+2）+2005，
=（a+1）²+2（b+1）²+2005，
当（a+1）²=0，（b+1）²=0时，p有最小值，
最小值最小为2005．
故选A．