设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx（上限1,下限0）,证明必存在ζ∈（0_数学解答

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx（上限1,下限0）,证明必存在ζ∈（0,1）,使f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ).

人气：386 ℃　时间：2020-05-12 12:14:52

解答

由积分中值定理知：f(1)=∫xe^(1-x)f(x)dx=ηe^(1-η)f(η), η ∈（0,1） ;对f'(ζ)=(1-ζ^(-1))f(ζ)变换得： f'(ζ)/f(ζ)=1-ζ^(-1);将ζ变为x,并对两边积分得：lnf（x）=x-lnx+C；故设F(x)=l...