（I）∵a²+4b²+c²=3，由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²，
故有 9≥（a+2b+c）²．
再根据a、b、c为正实数，∴a+2b+c≤3，即a+2b+c的最大值为3．
（Ⅱ）∵a、b、c为正实数，不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，
∴|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max=3，
∴

x＜1 (5−x)−(1−x) ≥3

①；或

1≤x＜5 (5−x)−(x−1)≥3

②；或

x≥5 (x−5)−(x−1)≥3

③．
解①求得x＜1，解②求得1≤x≤

3

2

，解③求得 x∈∅，
综上可得，实数x的取值范围为（-∞，

3

2

]．