第一,你的说法不对,被积函数的周期是2π,但是只要积分限的长度为一个周期,就可以换成任意的积分限.
第二,sinx是奇函数,其奇次幂也是奇函数,偶次幂是偶函数,这是复合函数的奇偶性啊.
第三,∫(sinx)^n[1-(sinx)^2]^kd(sinx)
=∫(sinx)^n-(sinx)^(n+k)d(sinx)
=[(sinx)^(n+1)/(n+1)-(sinx)^(n+k+1)/(n+k+1)]
而sin(-π)=sinπ=0
所以原式=0不好意思，打错了，其实是这样子：
根据二项式定理，(sinx)^n[1-(sinx)^2]^k必为sinx的多项式（不含常数项）

故积分后仍为sinx的多项式
而sin(-π)=sinπ=0
故原式=0-0=0