C
关于直线y=x+1对称,即圆心在直线上
设圆心为（a,a+1）,半径为b,则有（x-a）^2+[y-(a+1)]^2=b^2,
展开即x^2+y^2-2ax-2(a+1)y+a^2+(a+1)^2-b^2=0
对应题目中x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可知
D=-2a,E=-2(a+1),
则D+E=-4a-2,D-E=2
所以答案为C