已知p为质数,使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两根都是整数,求出p的所有可能值.
人气:320 ℃ 时间:2020-05-01 05:27:32
解答
∵已知的整系数二次方程有整数根,
∴△=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)为完全平方数,
从而,5p+1为完全平方数
设5p+1=n2,注意到p≥2,故n≥4,且n为整数
∴5p=(n+1)(n-1),
则n+1,n-1中至少有一个是5的倍数,即n=5k±1(k为正整数)
∴5p+1=25k2±10k+1,p=k(5k±2),
由p是质数,5k±2>1,
∴k=1,p=3或7
当p=3时,已知方程变为x2-6x-7=0,解得x1=-1,x2=7;
当p=7时,已知方程变为x2-14x+13=0,解得x1=1,x2=13
所以p=3或p=7.
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