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过点A(-2,-4)作倾斜角为45°的直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于点P1、P2,若|P1P2|^2=|AP1|等
过点A(-2,-4)作倾斜角为45°的直线l交抛物线y^2=2px(p>0)于点P1、P2,若|P1P2|^2=|AP1|·|AP2|,求实数p的值.(要过程)
人气:377 ℃ 时间:2020-01-25 04:35:09
解答
向量AP1*向量AP2=|AP1|×|AP2|×cos0°=|AP1|×|AP2|,设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),直线L:x-y-2=0,将直线L代入抛物线,得:(x-2)²=2px,即:x²-2(2+p)x+4=0,得:
【x1+x2=2(2+p),x1x2=4】
|P1P2|=[√(1+k²)]×|x1-x2|=√{2[4(2+p)²-16]}=√(8p²+32p),即|P1P2|²=8p²+32p;
而AP1=(x1+2,y1+4)=(x1+2,x1+2),AP2=(x2+2,y2+4)=(x2+2,x2+2),则:
|AP1|×|AP2|=(x1+2)(x2+2)+(x1+2)(x2+2)=2(x1x2)+4(x1+x2)+8=8p+32
则:8p²+32p=8p+32
8p²+24p-32=0
p²+3p-4=0
p=1或p=-4【舍去】
则实数p的值是p=1
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