write是一个可以接双宾语的动词.给你写一封信可以有两种说法：
i will write a letter to you.或者i will write you a letter.
你给的句子用的就是第二种,只不过没有加上直接宾语.
而to let you know more about the show并不是与write sb.连在一起构成短语,而是一个不定式做目的状语.