（1）由题意可知；当y=0时，方程x²-（k+1）x+k=0，只有一个解，
即：△=（k+1）²-4k=（k-1）²=0，
∴k=1，
即：当k=1时，抛物线与x轴只有一个公共点．
（2）分两种情况进行讨论：
①当∠CAO=∠BCO时．

CO

AO

=

BO

CO

，
即CO²=AO•BO，
由于CO=k，AO•BO=-k，
k²=-k，k（k+1）=0，
∴k=0，k=-1．
当k=0时，C点与B点或A点重合，
因此不合题意舍去．
②当∠ACO=∠BCO时，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y轴就是抛物线的对称轴，
即

k+1

2

=0，k=-1．
综上所述，当k=-1时，△AOC与△COB相似．