据x+1＜x+2＜x+3得：

1

x+1

＞

1

x+2

＞

1

x+3

，
∵方程

1

x+1

+

1

x+2

+

1

x+3

＝

13

12

，
∴

x+1

3

＜

12

13

＜

x+3

3

，
解之得：−

3

13

＜x＜

23

13

，
∵要求的解为正整数解，
∴x只能为1．
故答案为：1．