设a(1),a(2),...,a(1991)为1,2,..,1991的一个排列.
设b(1)=a(1),
b(2)=|a(2)-b(1)|,
b(k)=|a(k)-b(k-1)|.
你的问题是b(1991)=|a(1991)-b(1990)|最大是多少?
1.
用数学归纳法证明:b(k)≤1991
ⅰ.
k=1,命题显然成立.
ⅱ.
设b(k)≤1991
b(k+1)=|a(k+1)-b(k)|
0≤a(k+1),b(k)≤1991
==>
b(k+1)≤1991
所以所有b(k)≤1991,其中
b(1991)≤1991.
2.
用反证法证明:b(1991)<1991.
设b(1991)=1991=|a(1991)-b(1990)|
==>
a(1991)=1991,b(1990)=0
而b(1990)=±a(1)±a(2)±...±a(1990),其中有k项为正,
所以b(1990)=
=a(u1)+..+a(uk)-a(u(k+1))-...-a(u1990)=
=[1+2+..+1990]-2[a(u(k+1))+...+a(u1990)]=
=1991*995-2[a(u(k+1))+...+a(u1990)]
==>
b(1990)是奇数和b(1990)=0矛盾.
所以b(1991)<1991.
3.
由于|k-|k+1-|(k+2)-(k+3)|||=0.
设a(k)=1991-k,1≤k≤1990,
a(1991)=1991.
==>
b(4k)=0
==>
b(1988)=0,
b(1989)=|a(1989)-b(1988)|=|2-0|=2,
b(1990)=|a(1990)-b(1989)|=|1-2|=1
==>
b(1991)=|a(1991)-b(1990)|=|1991-1|=1990.
所以显示结果的最大值是1990.