线性代数题一道
设A=(aij)为一个n阶方阵,|A|=0,且A中的一个元素akl的代数余子式Akl不等于0,试证:(Ak1,Ak2,...,Akn)^T是齐次方程组AX=0的一个基础解系.
人气:183 ℃ 时间:2020-05-22 10:45:41
解答
首先,已知代数余子式Akl不等于0,所以R(A)=n-1;
那么,解向量组的秩为:n-R(A)=1 .即基础解系只有 1 个向量;
计算AX,X=(Ak1,Ak2,...,Akn)^T,根据行列式性质,i(i!=k)行元素与X(第k行对应的代数余子式) 乘积为0,而第k行元素与X乘积为|A|也为0,所有有AX=0;
即(Ak1,Ak2,...,Akn)^T是AX=0的一个解,又因为解向量组秩为1,所以(Ak1,Ak2,...,Akn)^T就是AX=0的一个基础解系.
通解形式为:x= k*(Ak1,Ak2,...,Akn)^T
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