这个用Eisenstein判别法:
设f(x) = a0·x^n+a1·x^(n-1)+...+an是整系数多项式.
若存在质数p满足(1) p不整除a0,(2) p | ak,k = 1,2,...,n,(3) p²不整除an,
则f(x)是在有理数域上不可约.
对于x^n-2,可知p = 2即满足条件,因此x^n-2在有理数域上不可约.因为不可约所以次数最低.

命题: 若有理系数多项式f(x)和g(x)(在复数域内)有公共根, 且f(x)不可约, 则f(x) | g(x).
证明如下:
考虑f(x)与g(x)的最大公因式(f(x),g(x)).
由(f(x),g(x)) | f(x), 而f(x)不可约, 有(f(x),g(x)) = 1或f(x) (相差非零常数因子).
若(f(x),g(x)) = 1, 即f(x)与g(x)互素, 则存在u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x) = 1.
将f(x)与g(x)的公共根代入得0 = 1, 矛盾.
因此只有(f(x),g(x)) = f(x), 于是f(x) | g(x).

现在x^n-2是2^(1/n)满足的有理系数不可约多项式.
若2^(1/n)又是有理系数多项式h(x)的根, 即h(x)与x^n-2有公共根.
由上述命题, x^n-2 | h(x), 当h(x)不为零多项式, 可得h(x)的次数不小于n.