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数学
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设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
1
=1,S
n
=na
n
-n(n-1)(n∈N
+
)
(1)求a
n
的表达式;
(2)若数列
{
1
a
n
a
n+1
}
的前n项和为T
n
,问:满足
T
n
>
100
209
的最小正整数n是多少?
人气:470 ℃ 时间:2020-03-20 07:57:03
解答
(1)当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=na
n
-(n-1)a
n-1
-2(n-1)…(2分)
a
n
-a
n-1
=2(n≥2),
数列{a
n
}是以a
1
=1为首项,以2为公差的等差数列
∴a
n
=2n-1…(6分)
(2)数列
{
1
a
n
a
n+1
}
的前n项和为T
n,
T
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n+1
=
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
(2n-1)×(2n+1)
=
1
2
[(
1
1
-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+(
1
5
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
…(10分)
∴
n
2n+1
>
100
209
,即
n>
100
9
,
∴满足
T
n
>
100
209
的最小正整数n是12…(12分)
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