（1）当k=0时，方程为一元一次方程，即-x+3=0，解得x=3，符合题意；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
其判别式b²-4ac=（4k+1）²-4k（3k+1）=（2k-1）²≥0，恒有实数根，
综上所述，此方程必有实数根；
（2）①k=0时，方程有根为3，符合题意；
②k≠0时，方程可化为（x-3）（kx-k-1）=0，
即x₁=3，x₂=

k+1

k

，
x₂=

k+1

k

=1+

1

k

，若k与方程根都是整数，则k只可以是1或-1，
综上所述，k的值为0，1或-1．