由f（1）=

1

2

，
对f（x+2）=f（x）+f（2），
令x=-1，
得f（1）=f（-1）+f（2）．
又∵f（x）为奇函数，
∴f（-1）=-f（1）．
于是f（2）=2f（1）=1；
令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=

3

2

，
于是f（5）=f（3）+f（2）=

5

2

．
故选：C．