设连续1999个正整数中最小的数是m，则
m+（m+1）+…+（m+1998）=（2m+1998）×1999÷2=1999m+1999×999
如果这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n有1999m+1999×999=n²
由于上式左边能被1999整除，故n²也必能被1999整除，
所以m+999=1999
所以m=1000，
m+1998=2998．
故答案为：2998．