设函数f(x)=ax-(1+a²)x²其中a>0区间I={x|f(x)>0}
1.求I的长度[注:区间(m,n)的长度定义为n-m]
2.给定常数k∈(0,1)当1-k≤a≤1+k,求I长度的最小值
人气:359 ℃ 时间:2019-08-19 01:03:51
解答
(1) 令 f(x)=ax-(1+a²)x²= -x[(1+a²)x-a]=0,
得 x=0 或 x=a/(1+a²)
因为 a>0,-(1+a²)<0
所以 I={x|0<x<a/(1+a²)}
其长度为 a/(1+a²)
(2) 长度 a/(1+a²)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2
当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2,所以a/(1+a²)在(0,1)单调增,在(1,+∞)单调减,
而当k ∈(0,1)时,1-k<1 而 1+k>1,
所以a/(1+a²)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值.
又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)²]= -3k³/{[1+(1-k)²]·[1+(1+k)²]}<0
所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)²]
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