这是一条北大教授在调研各地中学生数学知识时出的问题,当时那位老教授问了一个班,可是整个班算了半天也没有做出来,答案可以猜出来,不过还是给你整个证明方法吧.
数学归纳法：
N=1 x-1=(x-1)(1)
N=2 x^2-1=(x-1)(x+1)
N=3 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
...
现假设
N=n x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
求证
N=n+1 x^(n+1)-1=(x-1)[x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
下面证明
x^(n+1)-1=x(x^n-1)+x-1=x{(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]}+x-1
={(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x]}+(x-1)
=(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x^2+x+1]
所以得证,于是得
x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]
现在知道了吗?