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已知函数f（x）=an-1x2+（1-an）x+an-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a1=1，求数列{an}的通项公式
（2）若an＞1，（n∈N*），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，
求证：
1
a1+1
+
1
a2+1
+
1
a3+1
+…+
1
an+1
＜1（n∈N*）
人气：274 ℃　时间：2020-06-20 14:49:15
解答
（1）f（1）=an-1+1-an+an-1=0⇒an=2an-1+1⇒an+1=2（an-1+1）
∴an+1=2n⇒an=2n-1，（n∈N*）
证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可△=(1-an)2-4
a2n-1
≥0⇒(an-1)2≥4
a2n-1
⇒an-1≥2an-1⇒
an+1
an-1+1
≥2
∴an+1=(a1+1)•
a2+1
a1+1
•
a3+1
a2+1
•…
an+1
an-1+1
≥(a1+1)•2n-1＞2n
∴
1
a1+1
+
1
a2+1
+
1
a3+1
+…+
1
an+1
＜
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=1-
1
2n
＜1
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