若除以7余0，那么除以8的商是26，26×8÷7=29…5，则该数为26×8+（7-5）=210；
若除以7余1，那么除以8的商是25，25×8÷7=28…4，则该数为25×8+（7-4+1）=204；
若除以7余2，那么除以8的商是24，24×8÷7=27…3，则该数为24×8+（7-3+2）=198；
若除以7余3，那么除以8的商是23，23×8÷7=26…2，则该数为23×8+（7-2+3-7）=185；
若除以7余4，那么除以8的商是22，22×8÷7=25…1，则该数为22×8+（7-1+4-7）=179；
若除以7余5，那么除以8的商是21，21×8÷7=24，则该数为21×8+5=173；
若除以7余6，那么除以8的商是20，20×8÷7=22…6，则该数为20×8=160 或20×8+7=167．
因此所有这样自然数的和是210+204+198+185+179+173+160+167=1476．
答：所有这样的自然数的和是1476．