一道类似IQ的数学题求大神帮助在黑板上写有一个缺系数和常数项的多项式：x^3+()x^2+()x+() 现有两个人做填数字游戏：第_数学解答

一道类似IQ的数学题求大神帮助
在黑板上写有一个缺系数和常数项的多项式：x^3+()x^2+()x+() 现有两个人做填数字游戏：第一个人在任一个空位内填上一个非零整数（可正可负）,接着,第二个人在剩下的两个空位中任选一个填上一个整数,最后,第一个人在余下的空位上填一个整数求证：不管第2个人怎么填数第一个人总能使所得多项式可分解为三个一次因式的积,并且每个因式的x系数为1,常数项为整数

人气：287 ℃　时间：2020-02-06 07:01:03

解答

证明：设第一人填的是A,第二人填的是B,第三人填的是C：x^3+Ax^2+Bx+C又设多项式分解因式后为：(x-a)(x-b)(x-c)(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+1)x^2+(a+b+ab)x-ab=x^3+Ax^2+Bx+C左右两式恒等,对比对应的系数有：-(a+b+1)=A,a+b+ab=B,-ab=C由前两式得：-ab=-A-B-1再联合第三式得：C=-A-B-1由此可知：如果第一人填任意数A,第二人填任意数B,则第三人只需填上数-A-B-1,即可保证所得的三次多项式可分解为三个一次因式的积,并且每个因式的x的系数为1,常数项为整数.由于对任意数整数A,B都存在特定的整数C=-A-B-1,故命题得证