证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
根号下(x平方+1)
为何(x2-x1)+[根号(x2平方+1)-根号(x1平方+1)]
>0
人气:407 ℃ 时间:2019-10-24 05:34:41
解答
取x1[x2+根号(x2平方+1)]-[x1+根号(x1平方+1)]
=(x2-x1)+[根号(x2平方+1)-根号(x1平方+1)]
>0
∴x+根号(x平方+1)在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号(x2平方+1)]
f(x1)=[x1+根号(x1平方+1)]
∵x2+根号(x2平方+1)>x1+根号(x1平方+1)
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上为单调增函数
【说明】
(x2-x1)+[根号(x2平方+1)-根号(x1平方+1)]
=(x2-x1)+(x2平方-x1平方)/[根号(x2平方+1)+根号(x1平方+1)]【分子有理化】
=(x2-x1)+(x2-x1)(x2+x1)/[根号(x2平方+1)+根号(x1平方+1)]
=(x2-x1){1+(x2+x1)/[根号(x2平方+1)+根号(x1平方+1)]}
x2-x1>0,这个没问题吧
下面来解决1+(x2+x1)/[根号(x2平方+1)+根号(x1平方+1)]的符号
|x2|<|根号(x2平方+1)|,|x1|<|根号(x1平方+1)|
所以|(x2+x1)/[根号(x2平方+1)+根号(x1平方+1)]|<1
再加1,肯定大于0
两个都是大于零的式相乘,肯定大于零
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