过点E作EF⊥BD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDF=45°，∠C=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵BE平分∠DBC交DC于E，CE=1，
∴EF=CE=1，
∴EF=DF=1，
∴DE=

EF2+DF2

=

2

，
∴CD=DE+CE=

2

+1，
即AB=

2

+1．
故选A．