A、39÷3=13，所以相对面上的两个数的和等于13，所以6与7是相对面，8与5是相对面，9与4是相对面，所以六个面上标着4、5、6、7、8、9六个数是连续整数，符合题意，故本选项正确；
B、45÷3=15，所以6与9是相对面，又根据图形，6与9是相邻面，矛盾，故本选项错误；
C、51÷3=17，所以8与9是相对面，又根据图形，8与9是相邻面，矛盾，故本选项错误；
D、由于A正确，故本选项错误．
故选A．