已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1,对于x、y∈ (0,+∞),当且仅当x>y时,f(x)<f(y),
(1)求f(1)的值
(2)若f(-x)+f(3-x)≥-2,求x的取值范围
要具体过程
人气:248 ℃ 时间:2019-10-10 00:35:05
解答
1 因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1
所以f(1/2 ×1)=f(1/2)+f(1)
即f(1/2)=f(1/2)+f(1)
得f(1)=0
2 因为f是定义在(0,+∞)上的函数.所以在f(-x)+f(3-x)≥-2 中必有x<0
又因为对于x、y∈ (0,+∞),当且仅当x>y时,f(x)<f(y),所以这个函数是单调减函数
∵f(1)=f(2)+f(1/2) 即0=f(2)+1 即f(2)=-1
f(4)=f(2)+f(2)=-2
所以f(-x)+f(3-x)=f(x²-3x)≥-2=f(4)
即f(x²-3x)≥f(4)
因为这个函数是减函数
所以x²-3x≤4
即x²-3x-4≤0、
得-1≤x≤4
又因为x<0
所以x的取值范围是-1≤x<0
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