已知F1(-C,0),F2(C,0)为椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,P为椭圆上一点且PF1向量乘以PF2向量=C^2
则椭圆离心率e的取值范围是
人气:222 ℃ 时间:2019-09-29 04:40:14
解答
由题意可知:|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,
向量的数量积:PF1*PF2=|PF1|*|PF2|cos∠P=c²
在△PF1F2中,由余弦定理可得:
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|*|PF2|cos∠P
所以:(2c)²=|PF1|²+|PF2|²-2c²
即:|PF1|²+|PF2|²=6c²
又由均值定理知:|PF1|²+|PF2|² ≥ (|PF1|+|PF2|)²/2=2a²
所以:6c²≥2a²
即:c²/a²≥1/3
解得:c/a≥√3/3
所以:该椭圆的离心率e=c/a的取值范围是[√3/3,1)
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