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关于函数局部有界性
如果函数f在 某点连续则f在该点的某邻域 内有界.
这个某邻域是什么意思.是只要是 该点的邻域就可以了?还是特定的一个邻域?对该邻域有什么要求吗?
人气:410 ℃ 时间:2020-03-26 12:53:56
解答
领域是指足够小的范围,无论有多小都可以.
用数学语言表达是:
如果f(x)在x0点连续,对于任意小的正实数e(一般标准的用希腊字母小西格玛表示),都有f(x)在(x0-e,x0+e)内部有界.
下面是证明:
因为函数f(x)在x0点连续的定义是:对于任意一个正实数A,都存在一个正实数e,当|x-x0|那么显然,在(x0-e,x0+e)区域内,f(x0)-A < f(x) < A + f(x0)
有界的定义就是在(a,b)内,m< f(x)< M
故由函数连续得出在某个领域有界的结论.
大概写写就是这样,不学高等数学好多年了,数学语言中可能会有点瑕疵,与楼主共勉.
想了想,再加几句吧,方便你理解.
这个命题的含义就是,如果函数在某点连续,那么在某点一定有一个领域,这个邻域中函数是有界的.
通俗点说,如果在这点附近取了一个范围,函数不能满足有界,那继续缩小范围,当范围小到一定程度,在这个范围里面函数是有界的.
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