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数学
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高等数学微分中值定理的应用
证明方程x^5+x-1=0只有一个根
人气:240 ℃ 时间:2020-04-23 15:52:01
解答
1、有根:
设f(x)=x^5+x-1,则f(x)在[0,1]上连续,f(0)<0,f(1)>0,所以由零点定理,f(x)在(0,1)内有零点ξ,即方程x^5+x-1=0有根ξ
2、根唯一
设方程还有一个根η,η≠ξ,不妨假设η>ξ,则在[ξ,η]上使用罗尔定理,存在ζ∈(ξ,η),使f'(ζ)=0.而f'(x)=5x^4+1>0.矛盾
所以方程只有一根
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