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数学
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已知
1
3
≤a≤1,若f(x)=ax
2
-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),设g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的解析式;
(2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值.
人气:453 ℃ 时间:2019-10-18 08:29:47
解答
(1)当
1
3
≤a≤
1
2
时N(a)=f(
1
a
),M(a)=f(1),
此时g(a)=f(1)-f(
1
a
)=a+
1
a
-2;
当
1
2
<a≤1时N(a)=f(
1
a
),M(a)=f(3),
此时g(a)=f(3)-f(
1
a
)=9a+
1
a
-6;
∴g(a)=
a+
1
a
−2
1
3
≤ a≤
1
2
9a+
1
a
−6
1
2
<a≤1
…(6分)
(2)当
1
3
≤a≤
1
2
时,∵g(a)=a+
1
a
-2,∴g′(a)=1-
1
a
2
<0,
∴g(a)在[
1
3
,
1
2
]上单调递减.
同理可知g(a)在(
1
2
,1]上单调递增
∴g(a)
min
=g(
1
2
)=
1
2
.…(12分)
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